美國當地時間 2023 年 6 月 22 日，現代投資組合理論發明者、諾貝爾經濟學獎獲獎者 Harry Markowitz 去世，享年 95 歲。

不夸張地說，在上世紀 50 年代，Markowitz 的研究可謂從無到有，他以一己之力將數量化分析方法應用于金融市場，并開創性地提出現代投資組合理論（mean-variance 有效前沿），讓人們對于金融市場的分析從 DCF 轉向同時關注 return 和 risk。

直到今天，資產配置依然是投資中（最）重要的課題（之一）。而從事量化投資的小伙伴也無不對 mean-variance portfolio allocation 以及由此衍生出來的其他配置方法如數家珍（見《淺析資產配置的幾種方法》）。

(資料圖片僅供參考)

本文就來簡要回顧一下 Markowitz 學術發現背后的心路歷程。本文前半部分的歷史敘述參考羅聞全教授的 In Pursuit of the Perfect Portfolio 一書中關于 Markowitz 的章節（Lo and Foerster 2021），第三節是我個人的思考。

1 命中注定

正如所有不凡人生都有一些傳奇色彩，Markowitz 也不例外。

1950 年，就像所有迷茫的 Ph.D. candidates 一樣，正在芝加哥大學攻讀博士學位的 Markowitz 坐在他導師 Marschak 的辦公室外，等待和他探討博士論文選題。與此同時，同樣等在門外的是一位股票經紀人。也許是為了打發時間，這個青澀的、投資經營為零的博士生和這位經紀人閑聊了起來。而正是這個契機改變了一切。

當日稍晚的時候，Markowitz 對導師說“門外這個人建議我研究股票市場。您覺著如何？” Marschak 思考后告訴他這是一個值得嘗試的方向。于是，這次陰差陽錯的閑聊便拉開了 Markowitz 的研究之路，他致力于將數學和統計學方法應用于股票市場。

這便是第一個命中注定的時刻。然而，傳奇色彩遠不止于此。

在上世紀 50 年代，別說是金融學，就連定量研究在股票市場中幾乎都是聞所未聞。因此，可供 Markowitz 參考的文獻寥寥無幾。彼時，經由導師牽線搭橋，時任商學院院長的 Marshall Ketchum 給 Markowitz 推薦了幾本幫他了解股票投資的專著，其中包括 Graham 和 Dodd 的、如今家喻戶曉的 Security Analysis。不過對 Markowitz 影響最大的則要數 John Burr Williams 的 The Theory of Investment Value。也正是它極大推動了 Markowitz 的研究。

1950 年的某天下午，當 Markowitz 在芝加哥大學商學院圖書館中啃著 Williams 的這本著作時，一絲靈光乍現誕生了。Markowitz 發現 Williams 的理論中忽視了股票收益率之間的相關性，此外該理論假設投資者只關心預期收益率而不關心風險。在這個假設下，投資者只需購買預期收益率最高的單支股票來構建投資組合即可，而不需要同時持有多支股票。

這樣的推論讓 Markowitz 十分不解，因為這和業界的共識不符。在 Ketchum 給 Markowitz 的資料中，還有一份來自 Wiesenberger 的 Survey，它顯示投資者非常在乎多樣化（diversification）并且通過買入公募基金來達到同時持有一攬子（而絕非單支）股票的目的。理論和實踐的矛盾讓 Markowitz 意識到，Williams 的理論中缺失了一個重要的因素，即投資者對投資組合整體風險的關注。

為了確定投資組合的風險，Markowitz 進一步意識到，Williams 忽視股票收益率之間的相關性也是錯誤的。因為股票的收益率之間是相關的，而非獨立的。因此，僅僅知道單一股票的風險是不夠的，而且還要知道它們的相關性。Markowitz 事后回憶道，這個想法是他學術生涯的第一個 aha moment。每當有人問他“你是否意識到這會為你帶來諾貝爾獎”時，他總是回答說“當然不！但是我意識到這會給我帶來一個博士學位。”

這便是第二個命中注定的時刻。

2 現代投資組合理論的誕生

由于良好的數學和統計學訓練，通過標準差刻畫單一股票風險，通過相關系數和標準差來計算投資組合的風險對于 Markowitz 似乎就是水到渠成一般。

在第二個命中注定時刻的那天下午，Markowitz 在草稿紙上畫出了也許是世界上第一個 mean-variance 有效前沿。只不過當時他把預期收益率放在了橫坐標，將風險放在了縱坐標，因此有效前沿如下圖所示（摘自其 1952 年發表在 JF 上的文章），即對于給定的預期收益率，該組合風險最低；或者對于給定的風險，該組合的預期收益率最高。

1952 年，Markowitz 以 Portfolio Selection 為題發將其研究成果表在 Journal of Finance 上，這甚至比他獲得博士學位還要早了兩年。這篇文章通篇數學公式，并配合恰當的圖例，這對于當年的 JF 來說，是十足的異類。然而在如今看來，正是它拉開了定量研究的序幕，Markowitz 也被稱為現代投資組合之父。

不過有意思的是，無論是金融學的發端還是 Markowitz 的歷史功績背后，都不乏一些逸聞趣事，向世人傳遞著屬于那個時代的溫情。

在 Markowitz 博士論文答辯之前，他認為自己不會遇到什么麻煩。然而，在答辯僅僅進行了五分鐘之后，Milton Friedman 便打斷他說“Harry，你的論文不屬于經濟學范疇，我們不能給你經濟學博士學位?！笨梢韵胂螅谥蟮囊粋€半小時中，Markowitz 是在怎樣的糾結中度過。不過最終的結果并沒有像 Friedman 描述的那樣“殘酷”。在他答辯之后，學術委員會只進行了 5 分鐘的討論便達成了共識：“Congratulations Dr. Markowitz”。Friedman 后來告訴 Markowitz，就學術成果而言，他足以獲得博士學位，只不過即使在 50 年后，Friedman 依然堅持自己的看法，即他的研究并不屬于經濟學。也許正是在那個時刻，作為新興學科的金融學悄然發軔。

如今，提到現代投資組合理論，人們會首推 Markowitz (1952)；而 Markowitz 也被認為是現代投資組合理論之父。然而無巧不成書，似乎是注定再添加一筆傳奇色彩，早在十二年前的 1940，現代投資組合理論的雛形就被一位意大利統計學家 de Finett 提出了。在其論文中，de Finetti 在保險精算問題中使用了 mean-variance analysis 但是并沒有試圖解決最優化問題。然而由于語言壁壘（論文是意大利語而非英語）以及研究的并非是金融投資問題，他的發現并沒有得到足夠的重視。此外，在 Markowitz (1952) 發表后三個月年，來自英國的 A. D. Roy 在 Econometrica 上也發表了類似的發現。

Markowitz 在事后談到這些早期或者同期的發現時表現的十分淡然（比如他用“De Finetti Scoops Markowitz”評價了 de Finetti 的文章）。也許和其他大佬一樣，追求真像的快感遠遠高于個人所獲得的榮譽。

3 未竟的事業

如今，mean-variance 投資組合理論歷經了 70 余載，而資產配置也早已成為投資中最重要的課題。

現代投資組合理論雖然在數學上十分優雅，但是在實踐中，由于需要估計的參數誤差很大（包括預期收益率非常難以估計，且協方差的逆運算也有很多實操的坑），因此其在業界往往被吐槽。不過，質疑也好，吐槽也罷，本節還是讓我們客觀的來評價一下 mean-variance 最優化。

讓我們從一個簡單的實證說起。

我以 BetaPlus 小組針對 A 股市場構造的 Fama-French 五因子為待配置的標的（數據可在 www.factorwar.com 下載）。假設歷史數據計算的 和 就是真實的 和 ，而下圖中藍線是根據該 和 計算而來的有效前沿。接下來，假設這五個組合的收益率滿足 multivariate normal（參數為上述 和 ），并生成模擬樣本。對于每次模擬，使用模擬樣本計算 和 ，并使用它們計算投資組合的最優權重 。得到最優權重之后，將其代入到真實的參數和中，便得到了圖中的綠線（一共考慮了 50 組模擬，因此一共有 50 條綠色曲線）。

由于真實的參數是μ和Σ，而我們計算最優權重使用的是μ"和Σ"，因此每個模擬中的綠色有效前沿都要比藍色曲線差。它們的差異表明了參數估計誤差對實際投資組合的影響。這往往就是人們抱怨 mean-variance 最優化的原因。

然而，另一個更重要的因素是，資產的預期收益率（以及協方差）不滿足平穩性（e.g.，結構性變化）。和參數估計不準確相比（參數估計準確性可以通過更多的歷史樣本來提高），DGP 變化導致的參數變化對于 mean-variance 最優化在樣本外的表現影響更大。

在 Markowitz (1952) 中，下面這兩段話其實非常重要。Markowitz 在文章中將資產配置過程分為兩個步驟，第一步是對μ和Σ的估計，第二步才是構造 mean-variance 最優組合。盡管第一步不是他關注的，但下面這段話還是反映出他的觀點，即僅僅使用歷史數據來估計未來的 和 是不夠的，而一些包含其他信息的 judgment 是必要的。

這自然而然的就讓我想到了 Black-Litterman 這個貝葉斯框架下的資產配置利器。該模型通過市場均衡狀態出發確定預期收益率的先驗，并結合投資者的主觀判斷（以此捕捉 DGP 的變化）形成預期收益率的后驗。將其作為未來預期收益率的估計代入到 mean-variance 最優化問題中，往往能夠獲得比直接使用歷史數據更好的結果。

此外，由于 mean-variance 最優化中協方差需要估計的參數太多，Markowitz 也嘗試提出一種簡化模型來實現 portfolio selection。而正是這個契機成就了 Sharpe 的研究，造就了后來家喻戶曉的 CAPM。

另一方面，考慮到事前估計μ和Σ十分困難，人們又通過合理假設來規避掉某些需要估計的參數，并相繼提出了很多其他的資產配置方法，如 minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity 等。這些模型均對實踐中的資產配置產生了深遠的影響，而它們都源自 Markowitz 的現代投資組合理論。

和那個年代的許多大佬一樣，Markowitz 作為奠基者之一見證了金融學從 0 到 1。而他也是當之無愧的現代投資組合理論之父。

謹以此文紀念 Harry Markowitz。

本文來源：石川，原文標題：《Harry Markowitz》

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